Este blog se ha creado para facilitar la comunicación entre profe y alumnos.
Estará organizado por niveles y encontrarás información sobre MATEMÁTICAS Y ASTRONOMÍA.
martes, 1 de abril de 2014
martes, 25 de marzo de 2014
MÁS EJEMPLOS DE CÓNICAS: LAS ÓRBITAS DE CUERPOS CELESTES
La órbita del asteroide Eros
La primera ley de Kepler establece que los planetas describen órbitas elípticas con el sol situado en uno de sus focos. Dicha ley también es de aplicación a otros pequeños cuerpos del sistema solar llamados planetas menores o asteroides.En la animación se muestra, en azul, la órbita prácticamente circular de la Tierra (excentricidad 0.017) y, en rojo, la órbita elíptica (excentricidad 0.223) descrita por el asteroide numerado 433 conocido con el nombre de "Eros".
La órbita de Eros está contenida en un plano que forma un ángulo de casi 11 grados con el que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica. Lo que se observa en la animación es la proyección de la elipse descrita por el cometa sobre este último plano.
Las esferas azul, roja y amarilla indican sólamente la posición de la Tierra, el asteroide y el Sol, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ninguno de ellos sería visible en la animación en el caso de que se representarán a escala.
El internauta interesado en los objetos que, como Eros, describen órbitas próximas a la de la Tierra puede consultar el sistema NEODyS, donde también encontrará multitud de enlaces a otras páginas relacionadas con el tema.
ÓRBITA HIPERBÓLICA
La órbita del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami
Los cometas son pequeños cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen órbitas altamente elípticas e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol. En la animación se representa en rojo la evolución del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami a lo largo de su órbita hiperbólica (excentricidad 1,000468) en un lapso temporal que abarca desde el año 1998 hasta 2006. En azul está representada la órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa.
La órbita de C/2002 E2 está contenida en un plano prácticamente perpendicular al que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica Para la animación se ha elegido una vista que proyecta todos los objetos sobre el plano de la órbita del cometa, lo que hace que la órbita de la Tierra se vea de perfil.
El punto amarillo indica la posición que ocupa el Sol como foco tanto de la órbita casi circular de la Tierra como de la hipérbola descrita por el cometa Snyder-Murakami. Las esferas azul y roja indican sólamente la posición de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la animación en el caso de que se representasen a escala.
ÓRBITA PARABÓLICA
Los cometas son pequeños cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen órbitas altamente elípticas e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol.
En la animación se representa en rojo la evolución del cometa C/2002 B2 LINEAR a lo largo de su órbita parabólica (excentricidad 1,000) en un lapso temporal que abarca desde el año 1999 hasta 2004. En azul está representada la órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa.
La órbita de C/2002 B2 LINEAR está contenida en un plano que forma un ángulo de casi 153 grados con el que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica . Lo que se observa en la animación es la proyección de la parábola descrita por el cometa sobre este último plano.
El punto amarillo indica la posición que ocupa el Sol como foco tanto de la órbita casi circular de la Tierra como de la parábola descrita por C/2002 B2 LINEAR. Las esferas azul y roja indican sólamente la posición de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la animación en el caso de que se representasen a escala.
lunes, 24 de marzo de 2014
REPASANDO LAS CÓNICAS
AQUÍ TIENES ALGUNAS CURIOSIDADES DE LAS QUE HEMOS HABLADO EN CLASE.
Observa estos billares. ¿Cómo deberíamos lanzar una bola situada en uno de los focos de la cónica para meterla en el agujero situado en el otro foco?
CONTESTA A ESTAS CUESTIONES en los comentarios del blog.lunes, 10 de febrero de 2014
¿QUÉ ES EL CONJUNTO DE MANDELBROT?
Gaston Julia y sus conjuntos
No podemos decir que la suerte sea una característica presente en la vida de Gaston Julia (matemático francés nacido en Argelia), más bien todo lo contrario.
Tuvo que interrumpir sus estudios cuando contaba con 20 años por la Primera Guerra Mundial, en la que perdió la nariz. A pesar de las operaciones, tuvo que llevar una máscara, como puede verse en la foto de la derecha, hasta el día de su muerte.
Por otra parte, su fama en vida no alcanzó cotas demasiado altas, a pesar de sus interesantes y novedosos estudios. El hecho de no disponer del aparato con el que contaron sus contemporáneos, el ordenador, contribuyó decisivamente a ello.
De todas formas podemos considerar a Julia como uno de los padres de la Geometría Fractal. Él fue el primero en realizar estudios de funciones complejas que generaban conjuntos extraños, que terminaron por denominarse conjuntos de Julia.
¿Cómo se generan estos conjuntos? Veamos. Julia estudió el método iterativo
siendo los 
números complejos y 
una cierta constante también compleja. Lo que hacemos es fijar dicha y después tomar todos los números complejos y pasarlos por el método. Es decir, tomamos un número complejo 
, lo elevamos al cuadrado y sumamos al resultado. El número complejo obtenido se vuelve a elevar al cuadrado y al resultado se le vuelve a sumar , y así sucesivamente. La sucesión de resultados se denomina órbita de , y el valor al que tiende se denomina atractor. Por ejemplo, para 
, la órbita de 
es:
números complejos y una cierta constante también compleja. Lo que hacemos es fijar dicha y después tomar todos los números complejos y pasarlos por el método. Es decir, tomamos un número complejo , lo elevamos al cuadrado y sumamos al resultado. El número complejo obtenido se vuelve a elevar al cuadrado y al resultado se le vuelve a sumar , y así sucesivamente. La sucesión de resultados se denomina órbita de , y el valor al que tiende se denomina atractor. Por ejemplo, para , la órbita de es:
Esto es, 
. Si analizamos esta sucesión de número complejos, vemos que le aleja hacia infinito.
. Si analizamos esta sucesión de número complejos, vemos que le aleja hacia infinito.
Bien, pues deberíamos repetir este proceso para todos los puntos del plano, trabajo completamente imposible sin la ayuda de software informático. Esta es una de las razones por las que se tardó en avanzar en estos estudios.
De todas formas sí se dieron ciertos pasos importantes. En 1906, Fatou demostró que al aplicar este método iterativo a todos los puntos del plano complejo obtenemos que la mayoría de ellos generan órbitas que se van hacia infinito, pero que quedan puntos para los cuales no ocurre esto. De hecho se puede afinar algo más: si para un se cumple que un elemento de su órbita tiene módulo mayor que 2 y que 
, entonces la órbita de ese tiende a infinito. Los puntos cuya órbita no se va a infinito forman un conjunto cuyo interior se denomina conjunto de Fatou y cuyo borde, la frontera entre los puntos cuya órbita escapa y los puntos para los que esto no ocurre, se denomina conjunto de Julia asociado a la constante inicial.
se cumple que un elemento de su órbita tiene módulo mayor que 2 y que , entonces la órbita de ese tiende a infinito. Los puntos cuya órbita no se va a infinito forman un conjunto cuyo interior se denomina conjunto de Fatou y cuyo borde, la frontera entre los puntos cuya órbita escapa y los puntos para los que esto no ocurre, se denomina conjunto de Julia asociado a la constante inicial.
La variedad que podemos encontrar entre los conjuntos de Julia es enorme. Van desde la circunferencia de centro 
y radio 1, para 
, hasta conjuntos realmente extraños. Aquí tenéis algunos ejemplos:
y radio 1, para , hasta conjuntos realmente extraños. Aquí tenéis algunos ejemplos:
Como podéis ver, algunos de estos conjuntos son de una única pieza (conexos), mientras que otros están separados en varios trozos (disconexos), que podrían ser hasta infinitos. Y aquí entra Mandelbrot.
Hemos comentado antes que para un valor de concreto deberíamos introducir en el método todos los números complejos para confirmar si el conjunto de Julia asociado es conexo o disconexo. Pero sobre 1919, Julia y Fatou probaron de manera independiente que para saber si el conjunto de Julia asociado a un cierto número complejo era conexo o no simplemente hacía falta estudiar la órbita del 0. Más concretamente, si la órbita del 0 escapaba a infinito, entonces el conjunto de Julia asociado a era disconexo, y si la órbita del 0 no tendía a infinito, entonces este conjunto de Julia era conexo. Este hallazgo fue muy importante, ya que permitía conocer qué tipo de conjunto de Julia teníamos entre manos sin necesidad de estudiar las órbitas de todos los números complejos, hecho que simplificaba enormemente los cálculos.
concreto deberíamos introducir en el método todos los números complejos para confirmar si el conjunto de Julia asociado es conexo o disconexo. Pero sobre 1919, Julia y Fatou probaron de manera independiente que para saber si el conjunto de Julia asociado a un cierto número complejo era conexo o no simplemente hacía falta estudiar la órbita del 0. Más concretamente, si la órbita del 0 escapaba a infinito, entonces el conjunto de Julia asociado a era disconexo, y si la órbita del 0 no tendía a infinito, entonces este conjunto de Julia era conexo. Este hallazgo fue muy importante, ya que permitía conocer qué tipo de conjunto de Julia teníamos entre manos sin necesidad de estudiar las órbitas de todos los números complejos, hecho que simplificaba enormemente los cálculos.
Bien, pues Mandelbrot utilizó los dos hechos siguientes
- La órbita del 0 es la que determina si el conjunto de Julia asociado a un número complejo
- Sabemos cuándo una órbita tiende a infinito.
para encontrar los valores de para los que el conjunto de Julia era conexo, y encontró que la disposición de estos números complejos en el plano tenía una estructura realmente interesante. De aquí salió el conocido conjunto de Mandelbrot o conjunto M:
para los que el conjunto de Julia era conexo, y encontró que la disposición de estos números complejos en el plano tenía una estructura realmente interesante. De aquí salió el conocido conjunto de Mandelbrot o conjunto M:El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos
Teniendo en cuenta los dos hechos comentados anteriormente, se puede definir este conjunto de la siguiente forma, quizás más descriptiva:
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejosno tiende a infinito, es decir, no es divergente.
La conocidísima representación de este conjunto M en el plano complejo es la siguiente:
Como puede verse, el conjunto de Mandelbrot es algo así como una cardioide junto con infinitos discos tangentes. Entre ellos hay uno mayor que el resto, el que aparece en la izquierda.
Pero en realidad ésta no es la forma más habitual en la que se muestra el conjunto de Mandelbrot. Suele ser más bien de esta forma:
En la primera imagen aparece el conjunto de Mandelbrot representado en negro, y el resto del plano en blanco. En la segunda imagen también aparece en conjunto de Mandelbrot en negro, pero el resto aparece en otros colores, según lo rápido que la órbita del 0 se escapa a infinito. Como se puede demostrar que
si aparece un número complejo con módulo mayor que 2 en la órbita del 0, entonces dicha órbita tiende a infinito
entonces se representa de distintos colores según sea el momento en el que aparece el primer número complejo con módulo mayor que 2 en la órbita del 0.
Una propiedad curiosa de este conjunto M es que es conexo, es decir, de una sola pieza, aunque parezca que en cierta zonas el conjunto se fragmenta. Este hecho fue demostrado por Adrien Douady y John H. Hubbard sobre 1984-1985. Además, su complemento también es conexo.
Otra propiedad interesante es la autosimilitud que presenta el conjunto de Mandelbrot. Si ampliamos la imagen cerca del borde del conjunto encontraremos en muchas zonas al propio conjunto de Mandelbrot otra vez, además de figuras muy curiosas, interesantes y llenas de belleza:
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Os recomiendos este vídeo, en el que se hace zoom de forma continua en una zona cercana a la frontera del conjunto de Mandelbrot. Sencillamente espectacular:
Fuentes:
- gaussianos.com
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